Halaman
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2APLIKASI TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIMATEMATIKA PEMINATANKELASXIIPENYUSUNKusnandarSMA Negeri 4 Bogor
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...............................................................................................................................................3GLOSARIUM..............................................................................................................................................4PETA KONSEP..........................................................................................................................................5PENDAHULUAN......................................................................................................................................6A. Identitas Modul..............................................................................................................6B. Kompetensi Dasar..........................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi...............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul..........................................................................................7E. Materi Pembelajaran......................................................................................................8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1..........................................................................................................9Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi Trigonometri....................................9A.Tujuan Pembelajaran.....................................................................................................9B.Uraian Materi.................................................................................................................9C.Rangkuman..................................................................................................................15D.Latihan Soal.................................................................................................................16E.Penilaian Diri...............................................................................................................22KEGIATAN PEMBELAJARAN 2........................................................................................................23Nilai Maksimum, Nilai Minimum, Titik Belok, dan Kecekungan Fungsi Trigonometri..........................................................................................................................................23A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................23B.Uraian Materi...............................................................................................................23C.Rangkuman..................................................................................................................32D.Latihan Soal.................................................................................................................32E.Penilaian Diri...............................................................................................................40EVALUASI................................................................................................................................................41DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................................................47
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMcekung ke atas: Jika grafik fungsiterletak di atas semua garis singgungnya pada suatu interval tertentu.cekung ke bawah: Jika grafik fungsiterletak di bawahsemua garis singgungnya pada suatu interval tertentu.fungsi naik: sebarang fungsi f(x) dimana xbergerak ke kanan,makagrafik fungsi tersebut bergerak ke atasatau naik.fungsi turun: sebarang fungsi f(x) dimana xbergerak ke kanan,makagrafik fungsi tersebut bergerak ke bawahatau turun.gradien: kemiringan, ukuran seberapa cepat nilai fungsinya berubah; nilai turunan fungsi di titik singgungnya.garis singgung:kurvabidang pada titikyang diketahui ialah garis lurus yang “hanya menyentuh” kurva pada titik tersebut.garis normal : garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik singgung.nilai maksimum : nilai terbesar dari suatu fungsi pada interval tertentu.nilai minimum:nilai terkecil dari suatu fungsi pada interval tertentu.titik stasioner:titik pada kurva yang mengakibatkan kurva tersebut tidak naik dan tidak turun.titik belok:jika fungsicekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi yang lainnya dari I.turunan:laju perubahan suatu fungsi terhadap perubahan peubahnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEP`APLIKASI TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIRumus Dasar Turunan Fungsi TrigonometriPenerapan dalam Kehidupan Sehari-hariKemiringan dan Kemonotan Nilai Maksimum, Minimum, Titik belok, dan KecekunganRumus Pembantu
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6ADCBPENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika PeminatanKelas:XIIAlokasi Waktu:12jam pelajaranJudul Modul:Aplikasi Turunan Fungsi TrigonometriB. Kompetensi Dasar3.4Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri4.4Menyelesaikan masalah yangberkaitan dengan nilai maksimum,nilai minimum, selangkemonotonan fungsi, dankemiringan garis singgung sertatitik belok dan selang kecekungankurva fungsi trigonometriC. Deskripsi Singkat MateriKonsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika dikehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi dan titik belok suatu kurva.Untuk memahami apa yang akan Ananda pelajari dalam modul ini, perhatikan ilustrasi berikut. Coba bayangkan ketika Ananda mendaki gunung. Ananda akan memulainya di kaki gunung, kemudian perlahan bergerak ke atas sampai tiba di puncak gunung. Ketika berada di puncak gunung Ananda merasa berada di titik paling atas bukan? Nahh setelah itu Ananda turun kembali menuju lembah sampai tiba di kaki gunung kembali. Pergerakan Ananda mendaki gunung dapat diilustrasikan dengan gambar sebagai berikut: Gambar 1Dari ilustrasi tersebut, ketika Ananda bergerak dari titik Amenuju ke titik B, Ananda akan bergerak naik hingga sampai puncak, kemudian Ananda bergerak dari titik Bke titik C, pergerakan Ananda akan turun, demikian juga ketika Ananda bergerak dari titik Cke DAnanda akan bergerak naik. Deskripsi ini menggambarkan fungsi naik untuk pergerakan dari Ake B, fungsi turun
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7untuk pergerakan dari Bke C. Dari Gambar 1juga dapat kitalihat terdapat puncak dan lembah. Nahh ketika Ananda berada di puncak berarti Ananda akan berada di titik maksimum, demikian juga ketika Ananda berada di bawah akan berada di titik minimum. Inilah yang disebut titik ekstrim atau titik puncak yang bisa berarti maksimum atau minimum. Terdapat berbagai pemanfaatan aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari, yaitu:➢Salah satu penerapan turunan yang paling umum adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Nilai balik maksimum suatu fungsi pada domain fdapat berupa nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum relatif. Begitupun dengan nilai minimum, dapat berupa nilai minimum mutlak dan nilai minimum relatif. Jika dalam interval tertentu terdapat dua nilai maksimum atau lebih, nilai maksimum mutlak (absolut) adalah nilai tertinggi sedangkan yang lainnya merupakan nilai maksimum relatif, begitupun sebaliknya. Jika terdapat dua atau lebih nilai minimum pada suatu fungsi, maka titik terendah merupakan nilai minimum mutlak (absolut), sedangkan yang lainnya merupakan nilai minimum relatif.➢Turunan dapat digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan sehingga sering digunakan dalam pekerjaan dan penelitian yang membutuhkan ilmu fisika. Selain itu percepatan juga digunakan dalam menghitung laju percepatan pada kegiatan lempar lembing, lempar cakram, menembak, dan lain-lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat diketahui melalui fungsi turunan.➢Dalam membuat konstruksi bangunan, percampuran bahan bahan bangunan yang di lakukan oleh arsitek, pembuatan tiang-tiang, langit-langit, ruangan, dan lain lain menggunakan turunan sehingga bangunan terlihat cantik dan kokoh (optimal). Pembuatan kapal, pesawat, dan kendaraan lainnya menggunakan turunan.➢Kegunaan penurunan,terdapat juga pada quick count. Dalam perhitungan tersebut,terdapat juga perhitungan yang baik sehingga dapat mempunyai perhitungan yang maksimal.➢Dalam dunia penerbangan, turunan mempunyai fungsi terpenting untuk menentukkan laju pesawat dengan cepat. Pesawat akan mengikuti navigasi dari tower yang berada di bandara. Setiap laju pesawat akan terdeteksi pada navigasi (menggunakan perhitungan kalkulus otomatis) sehingga laju pesawat tidak salah arah dan percepatannya sesuai dengan panduan dari tower.(Brainly.co.id)D.Petunjuk Penggunaan ModulModul ini dirancang untuk memfasilitasi Ananda dalam melakukan kegiatan pembelajaransecara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN83.Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan Anandadengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan Anandaterhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar Anandadapat mengukur penguasaan terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan Anandauntuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.E. Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi TrigonometriKedua : Nilai Maksimum, Nilai Minimum, Kecekungan, dan Titik BelokFungsi Trigonometri
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri serta Sifat-sifatnyaRumus Dasar Persamaan TrigonometriKEGIATAN PEMBELAJARAN 1Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi TrigonometriA.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 1 ini, diharapkan Ananda dapat menjelaskan keberkaitan turunan pertama fungsi trigonometri dengan kemiringan garis singgungdan selang kemonotonan fungsi (interval fungsi naik dan fungsi turun) dan dapat menyelesaikan masalah yangberkaitan dengankemiringan garis singgung sertapersamaan garis singgungdan selang kemonotonan fungsi trigonometri.B.Uraian MateriDalam mempelajari modul Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri ada beberapa materi prasayarat yang harus dipelajari kembali, diantaranya adalah rumusturunan atau diferensial fungsi aljabar dan fungsi trigonometri beserta sifat-sifatnyadan rumus dasar persamaan trigonometri.Untuk u= u(x) dan v= v(x), berlaku:➢y= sin uy= cos u . u➢y = cosuy= –sinu . u➢y = tanuy= sec2u . u➢y = cotuy= –csc2 u . u➢y = secxy= secxtanx➢y = cscx y= –cscx cotx➢y = cosnu y= –ncosn–1u .sinu .u➢y = sinnu y= nsinn–1u .cosu .u➢y =axny= anxn –1➢y =uny= n un –1.u➢y =uv y= uv➢y=u . vy= u. v + u . v➢y =𝑢𝑣y= 2'..'vvuvu−Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana, perhatikan rumusan berikut. ➢sin x= sin x= + n.2x= (–) + n.2➢cosx= cos x= + n.2x= –+ n.2➢tan x= tan x= + n.nB= { . . ., –2, –1, 0, 1, 2, . . .}dan dapatdiganti dengan 180o
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Nahpada modul pembelajaran kali ini Ananda akan mempelajari di interval dimana fungsi naik dan fungsi turun serta statsionernya. Kemiringan Garis Singgung Perhatikan Gambar 2berikut!9.10.Persamaan garis singgung kurva y= f(x) dititik (x1, y1) adalah y–y1= m(x–x1), dengan m= f(x1)= [𝑑𝑦𝑑𝑥]𝑥=𝑥1Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik singgung. Persamaannya adalah y–y1= –m1(x–x1).Misalkan Padalah sebuah titik tetap pada suatu kurva dan andaikan Qadalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Koordinat titik Padalah (c, f(c)), titik Qmempunyai koordinat (c + h,f(c + h)). Tali busuryang melalui Pdan Qmempunyai kemiringan atau gradien𝑚𝑃𝑄=𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)ℎGaris l merupakan garis singgung kurva di titik P. Kemiringan (gradien) garis singgung ladalah:𝑚=𝑓(𝑐)=limℎ→0𝑚𝑃𝑄=limℎ→0𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)ℎGaris singgungPQOXYcc+hhf(c+h)f(x)f(c)lCatatan:Pengertian dua garis sejajar dan tegak lurus sering muncul dalam persamaan garis singgung.❖Misalkan garis g: y= m1x+ c1sejajar garis h: y= m2x+ c2di mana m1dan m2masing-masing gradien dari garis gdan h, maka m1= m2.❖Misalkan garis g: y= m1x+ c1tegak lurus garis h: y= m2x+ c2di mana m1dan m2masing-masing gradien dari garis gdan h, maka m1. m2= –1. Gambar 2. Konsep kemiringan garis singgung
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Tentukan gradien garis singgung kurva y= sin (2x –𝜋6) di x= 𝜋2.Penyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= sin (2x –𝜋6)𝑑𝑦𝑑𝑥=2cos(2𝑥−𝜋6)❖Tentukan gradien garis singgung m𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝜋2m= 2cos(2(𝜋2)−𝜋6)=2cos5𝜋6=2(−12√3)=−√3❖Jadi, gradien garis singgung kurva adalah −√3.Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y= tan xdi tiik berabsis 𝜋3. Penyelesaian :❖Tentukan titik singgung (x1, y1)absis = xdan ordinat = yx1= 𝜋3y1= tan x1y1= tan 𝜋3= √3Jadi, titik singgungnya (x1, y1) = (𝜋3,√3)❖Tentukan turunan pertama fungsi yy= tan x𝑑𝑦𝑑𝑥=sec2𝑥❖Tentukan gradien m𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝜋3=sec2𝜋3=(2)2=4❖Tentukan persamaan garis singgungy–y1= m(x–x1)y–√3= 4(x–𝜋3)3y–3√3= 12x–4(kedua ruas kalikan dengan 3)12x–3y–4+3√3= 0❖Tentukan persamaan garis normaly–y1= −1𝑚(x–x1)y–√3= −14(x–𝜋3)12y–12√3= –3x+ (kedua ruas kalikan dengan 12)3x+12y––12√3= 0❖KesimpulanJadi, persamaan garis singgung kurva y= tan xdi tiik berabsis 𝜋3adalah 12x–3y–4+3√3= 0dan persamaan garis normalnya adalah 3x+12y––12√3= 0.Contoh2Contoh1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12Diketahui kurva y= cos2(x+15o) pada interval 0o≤ x≤ 90o. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis 6x+ 3y–1 = 0.Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama fungsi yy= cos2(x+15o)𝑑𝑦𝑑𝑥=−2cos(𝑥+15o)sin(𝑥+15o)=−sin2(𝑥+15o)=−sin(2𝑥+30o)❖Tentukan gradien garis singgungMisal garis h: 6x+ 3y–1 = 0y= –2x–13mh= –2 Misal gadalah garis singgung kurva, karena garis gtegak lurus garis h(g⊥h), maka mg. mh= –1mg. (–2) = –1mg= 12❖Tentukan titik singgung (x1, y1)𝑚𝑔=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝑥112=−sin(2𝑥1+30o)sin(2𝑥1+30o)=−12sin(2𝑥1+30o)=sin210o(sinx=sinmaka x=+ n.2dan x= (–)+ n.2)2x+ 30o= 210o+ n.360oatau 2x+ 30o= (180o–210o) + n.360o2x= 180o+ n.360oatau 2x= –60o+ n.360ox= 90o+ n.180oatau x= –30o+ n.180on= 0 x= 90on= 1 x= 150o(tidak memenuhi 0o≤ x≤ 90o )➢x= 90oy= cos2(90o+15o) = cos2(105o)cos (105o) = cos (60o+ 45o) = cos 60ocos 45o–sin 60osin 45o=12.12√2−12√3.12√2=14(√2−√6)y= cos2(105o) = (14(√2−√6))2=116(8−4√3)=12−14√3Jadi, titik singgungnya (x1, y1) = (𝜋2,12−14√3)❖Tentukan persamaan garis singgungy–y1= mg(x–x1)y–(12−14√3)= 12(x–𝜋2)4y–2 + √3= 2x–(kedua ruas kalikan dengan 4)2x–4y–+2 –√3= 0❖KesimpulanJadi, persamaan garis singgung kurva y= cos2(x+15o) pada interval 0o≤ x≤ 90odan tegak lurus dengan garis 6x+ 3y–1 = 0 adalah 2x–4y–+2 –√3= 0.Contoh3
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13Kemonotan FungsiSecara grafik, jika kurva suatu fungsi merupakan sebuah kurva mulus, maka fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun dapat dengan mudah Ananda amati. Misalnya untuk grafik fungsi yang digambarkan dibawah ini, Ananda dapat mengatakan bahwa fungsi y= f(x) monoton naik pada interval x<aatau x> b, monoton turun pada interval a< x< b.Kadangkala istilah monoton bisa dihilangkan sehingga menjadi fungsi naik dan fungsi turun.Secara aljabar pengertian fungsi naik dan fungsi turun adalah sebagai berikut.Ingat kembali bahwa turunan pertama f (x)memberikan makna kemiringan dari garis singgung pada grafik fdi titik x. Jika f (x)> 0, garis singgung naik ke kanan (lihat Gambar 3), jika f (x)< 0, garis singgung jatuh ke kananUntuk menyelidiki atau mencari interval di mana fungsi naik dan di mana fungsi turun, Ananda dapat menggunakan turunan pertama seperti teorema berikut.•••f (x) > 0f (x) < 0f (x) > 0Misalkan ffungsi trigonometri yang terdefinisi di selang I.➢Fungsi f disebut naikpada selang Ijika untuk setiap x1dan x2di I, dengan x1< x2maka f(x1) < f(x2).➢Fungsi f dikatakan turunpada selang Ijika untuk setiap x1dan x2di I, dengan x1< x2maka f(x1) > f(x2).Definisi1Misalkan ffungsi trigonometri yang terdefinisi di selang Idan fmempunyai turunan di I.➢Jika f (x) > 0 dalam selang I, maka fmerupakan fungsi naik.➢Jika f (x) < 0 dalam selang I, maka f merupakanfungsi turun.Teorema 1Gambar 3Fungsi naik dan fungsi turunabx < aa < x <bx >by =f(x)Gambar 3. Interval kurva naik dan turun
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Agar Ananda lebih mahir dalam menentukan interval di mana fungsi naik dan turun pada fungsi trigonometri, pelajari contoh berikut.Tentukan interval fungsi naik dan fungsiturun dari fungsitrigonometrif(x) = cosx pada interval [0, 360o].Penyelesaian : ❖Tentukan turunan pertama fungsi f(x)f(x) = cosxf (x) =–sinx (turunan y= cosxadalah y=–sinx)❖Tentukanpembuat nol fungsi f(x)f (x) =0 –sinx=0(kalikan kedua ruas dengan (–1))sinx=0x= 0o, 180o, 360o❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖Kesimpulan➢Syarat f(x) naik adalahf(x) > 0, sehingga berdasarkan Gambar 4 f(x) naik pada interval180o<x<360o.➢Syarat f(x) turunadalahf(x) <0, sehingga berdasarkan Gambar 4 f(x) turunpada interval0o<x< 180o.Tentukan interval fungsi naik dan fungsiturun dari fungsitrigonometrif(x) = sin2x pada interval [0, ].Penyelesaian : ❖Tentukan turunan pertama fungsi f(x)f(x) = sin 2xf (x) = 2 cos 2x (turunan y= sin axadalah y= acos ax)❖Tentukan pembuat nol fungsi f (x)f (x) = 0 2 cos 2x= 0(kalikan kedua ruas dengan 12)cos 2x= 0cos 2x= cos 𝜋2(cos x=cos maka x=+ n.2dan x= –+ n.2)2x= 𝜋2+ n. 2x = 𝜋4+ n. n= 0 x= 𝜋42x= −𝜋2+ n. 2x = −𝜋4+ n. n= 1 x= 3𝜋4180o360of(30o) = −12Contoh40oGambar 4Uji nilai f(x)Contoh5f(210o) = 12f(x) < 0f(x) > 0
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖Kesimpulan➢Syarat f(x) naik adalahf(x) > 0, sehingga berdasarkan Gambar 5 f(x) naik pada interval0 ≤ x< 𝜋4atau 3𝜋4< x≤ .➢Syarat f(x) turunadalahf(x) <0, sehingga berdasarkan Gambar 5 f(x) turunpada interval𝜋4< x< 3𝜋4.C.Rangkuman❖Gradien garis singgung di titik (x1, y1)adalah 𝑚=𝑓(𝑥1)=limℎ→0𝑓(𝑥1+ℎ)−𝑓(𝑥1)ℎ❖Persamaan garis singgung kurva y= f(x) dititik (x1, y1) adalah y–y1= m(x–x1), dengan m= f(x1)= [𝑑𝑦𝑑𝑥]𝑥=𝑥1❖Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik singgung. Persamaannya adalah y–y1= –m1(x–x1).❖Misalkan ffungsi yang terdefinisi di selang I.➢Fungsi f disebut naikpada selang Ijika untuk setiap x1dan x2di I, dengan x1< x2maka f(x1) < f(x2).➢Fungsi f dikatakan turunpada selang Ijika untuk setiap x1dan x2di I, dengan x1< x2maka f(x1) > f(x2).❖Misalkan ffungsi yang terdefinisi di selang Idan fmempunyai turunan di I.➢Jika f(x) > 0 dalam selang I, maka fmerupakan fungsi naik.➢Jika f (x) < 0 dalam selang I, maka f merupakanfungsi turun.𝜋43𝜋4f(𝜋6) = 10Gambar 5Uji nilai f(x)f(𝜋2) = –2f(x) > 0f(x) > 0f(x) < 0f(5𝜋6) = 1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16D.Latihan Soal Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.1.Gradien garis singgung kurva y= tan xdi x= 𝜋4adalah ....A.–3B.–2C.–1D.2E.32.Gradien garis singgung kurva y= sin (2x+𝜋6) di x= 𝜋3adalah ....A.−√3B.−√2C.−1D.12√3E.√33.Gradien garis singgung kurva y= √3sin x–cos xdi titik berabsis x= 𝜋6adalah ....A.–2B.–112C.1D.112E.24.Persamaan garis singgung kurva y= csc xdi titik (30o,2) adalah ....A.𝑦=−2√3(𝑥−30o)−2B.𝑦=−2√3(𝑥+30o)+2C.𝑦=−2√3(𝑥−30o)+2D.𝑦=2√3(𝑥−30o)+2E.𝑦=2√3(𝑥−30o)−25.Persamaan garis normal dari fungsi y= tan xdi titik (41, 1) adalah ...A.y= –21x+ 41+ 1B.y= –21x+ 81–1C.y= –21x–81–1D.y= –21x –41–1E.y= –21x+81+ 16.Diketahui garis gmenyinggung kurva y= sin x+ cos xdi titik yang berabsis12𝜋. Garis gmemotong sumbu Ydititik ....A.(0, 1 –𝜋2)B.(0, 1)C.(0, 𝜋2)D.(0, 𝜋)E.(0, 1 + 𝜋2)
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN177.Grafik fungsi f(x) = sin xakan turun pada interval ....A.0o< x< 90oB.0o< x< 180oC.90o< x< 1800oD.90o< x< 270oE.270o< x< 360o8.Grafik fungsi f(x) = cos 2xakan naikpada interval ....A.0 < x < π2B.π2< x < πC.π2< x < 3π2D.π2< x < 2πE.π< x < 3π29.Grafik fungsi f(x) = sin2 xakan naikpada interval ....A.0 <x< π2B.0 <x <C.𝜋2< x< D.𝜋2< x< 3𝜋2E.< x< 210.Grafik fungsi f(x) = cos2 (x + 10o) pada interval 0o< x< 90oakan ....A.turunB.naikC.turun-naik-turunD.turun kemudian naikE.naik kemudian turun
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 11.Gradien garis singgung kurva y= tan xdi x= 𝜋4adalah ....Jawaban: D❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= tanx𝑑𝑦𝑑𝑥=sec2𝑥❖Tentukan gradien garis singgung m𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝜋4m= sec2(𝜋4)=Penyelesaian:(√2)2=2❖Jadi, gradien garis singgung kurva adalah 2.2.Gradien garis singgung kurva y= sin (2x+𝜋6) di x= 𝜋3adalah ....Jawaban: APenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= sin (2x+𝜋6)𝑑𝑦𝑑𝑥=2 cos(2x+𝜋6)❖Tentukan gradien garis singgung m𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝜋3m= 2cos(2(𝜋3)+𝜋6)=2cos(5𝜋6)=2(−12√3)=−√3❖Jadi, gradien garis singgung kurva adalah −√3.3.Gradien garis singgung kurva y= √3sin x–cos xdi titik berabsis x= 𝜋6adalah ....Jawaban: EPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= √3sin x–cos x𝑑𝑦𝑑𝑥=√3cos x+ sin x❖Tentukan gradien garis singgung m𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝜋6m= √3cos𝜋6+sin𝜋6=√3(12√3)+12=32+12=2❖Jadi, gradien garis singgung kurva adalah 2.4.Persamaan garis singgung kurva y= csc xdi titik (30o,2) adalah ....Jawaban: CPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= csc x𝑑𝑦𝑑𝑥=–csc xcotx❖Tentukan gradien garis singgung m𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=30o
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19m= –csc 30ocot 30o=–2(√3)= –2√3❖Tentukan persamaan garis singgungdi titik (30o,2)y–y1= m(x–x1)y–2= –2√3(x–30o)y= –2√3(x–30o)+ 25.Persamaan garis normal dari fungsi y= tan xdi titik (41, 1) adalah ...Jawaban: EPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= tan x𝑑𝑦𝑑𝑥=sec2𝑥❖Tentukan gradien garis singgungm𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝜋4m= sec2(𝜋4)=(√2)2=2❖Tentukan persamaan garis normaldi titik (𝜋4,1)y–y1= −1𝑚(x–x1)y–1 = −12(x–𝜋4)y= −12𝑥+𝜋8+16.Diketahui garis gmenyinggung kurva y= sin x+ cos xdi titik yang berabsis12𝜋. Garis gmemotong sumbu Ydititik ....Jawaban: EPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= sin x+ cos x𝑑𝑦𝑑𝑥=cos x–sin x❖Tentukan gradien garis singgungm𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝜋2m= cos 𝜋2–sin 𝜋2= 0 –1 = –1 ❖Tentukan titik singgung (x1, y1)y= sin 𝜋2+ cos 𝜋2= 1 + 0 = 1Jadi, titik singgungnya (x1, y1) = (𝜋2,1)❖Tentukan persamaan garis singgungy–y1= m(x–x1)y–1 = –1(x–𝜋2)y= –x+𝜋2+ 1❖Tentukan titik potong dengan sumbu Yx = 0 y= 0+𝜋2+ 1 = 𝜋2+ 1Jadi, garis gmemotong sumbu Ydititik(0, 𝜋2+ 1)
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN207.Grafik fungsi f(x) = sin xakan turun pada interval ...Jawaban: DPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x)= sin xf (x)= cos x❖Tentukan pembuat nol fungsi f (x)f (x) = 0 cosx= 0x= 90o, 270o❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖KesimpulanSyarat f(x) turunadalahf(x) <0, sehingga f(x) turunpada interval90o< x< 270o.8.Grafik fungsi f(x) = cos 2xakan naikpada interval ...Jawaban: BPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x)= cos2xf (x)=–2 sin2x❖Tentukan pembuat nol fungsi f (x)f (x) = 0 –2 sin 2x= 0sin 2x= 0x= 0,𝜋2, 𝜋, 3𝜋2, 2𝜋❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖KesimpulanSyarat f(x) naikadalahf(x) >0, sehingga f(x) naikpada interval𝜋2< x< 𝜋dan 3𝜋2< x< 2𝜋.9.Grafik fungsi f(x) = sin2 xakan naikpada interval ....Jawaban: APenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x)= sin2xf (x)= 2sin xcos x= sin 2x❖Tentukan pembuat nol fungsi f (x)f (x) = 0 sin 2x= 0x= 0, 𝜋2, 𝜋, 3𝜋2, 2𝜋270o360of(60o) = 120of(300o) = 12f(x) > 0f(x) > 090of(180o) = -1f(x) < 0f(𝜋6) = −√30f(11𝜋6) = √3f(x) < 0f(x) > 0𝜋2f(5𝜋6) = √3f(x) > 0𝜋3𝜋2f(x) < 0f(7𝜋6) = −√32𝜋
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖KesimpulanSyarat f(x) naikadalahf(x) >0, sehingga f(x) naikpada interval0< x< 𝜋2dan 𝜋< x< 3𝜋2.10.Grafik fungsi f(x) = cos2 (x +10o) pada interval 0o< x< 90oakan ....Jawaban: DPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x)= cos2 (x +10o)f (x)=–2cos(x +10o)sin(x +10o)= –sin 2(x +10o)❖Tentukan pembuat nol fungsi f (x)f (x) = 0 –sin 2(x +10o)= 0sin (2x +20o)= 0sin (2x +20o)= sin 0o(sinx=sinmaka x=+ n.2dan x= (–)+ n.2)2x+ 20o= 0o+ n.360oatau 2x+ 20o= (180o–0o) + n.360o2x= –20o+ n.360oatau 2x= 160o+ n.360ox= –10o+ n.180oatau x= 80o+ n.180on= 1 x= 170on= 0 x= 80on= 2 x= 350on= 1 x= 260o❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖Kesimpulan➢Syarat f(x) naikadalahf(x) >0, sehingga f(x) naikpada interval80o< x< 170odan 260o< x<350o.➢Syarat f(x) turunadalahf(x) <0, sehingga f(x) turunpada interval0o< x< 80o,170o< x< 2600odan 350o< x< 360o.➢Jadi, pada interval 0o< x< 90ografikk fungsi turun kemudian naik.f(𝜋12) =120f(19𝜋12) = −12f(x) > 0f(x) < 0𝜋2f(7𝜋12) = −12f(x) < 0𝜋3𝜋2f(x) > 0f(13𝜋12) = 122𝜋f(5o) =−120of(275o) = 12f(x) < 0f(x) > 080of(95o) = 12f(x) > 0170of(x) < 0f(185o) = −12260o350of(x) < 0
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22E.Penilaian DiriAnandaisilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Ananda mampu menentukan turunan fungsi trigonometri ?2.Apakah Ananda mampu menentukankemiringan garis singgungsuatu kurva trigonometri?3.Apakah Ananda mampu menentukan persamaan garis singgungpada fungsi trigonometri?4.Apakah Ananda mampu menentukan persamaan garis normalpada fungsi trigonometri?5.Apakah Ananda mampu menentukan intervalfungsi naikpada fungsi trigonometri?6.Apakah Ananda mampu menentukan intervalfungsi turun pada fungsi trigonometri?Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23KEGIATAN PEMBELAJARAN 2Nilai Maksimum, Nilai Minimum, Titik Belok, dan KecekunganFungsi TrigonometriA.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 2 ini, diharapkan Ananda dapat menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi trigonometri dengan nilai maksimum, nilai minimum, titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometridan dapat menyelesaikan masalah yangberkaitan dengannilai maksimum,nilai minimum, titik belok dan selang kecekungankurva fungsi trigonometri.B.Uraian MateriTitikdanNilai Stasioner Fungsi TrigonometriTitik stasioner terjadi apabila garis singgung pada kurva di titik tersebut merupakan garis horisontal. Perhatikan Gambar adisamping.Definisi titik stasioner diberikan sebagai berikut:Tentukan titik dan nilai stasioner fungsi y= f(x) = cos 2xpada interval 0 ≤ x≤ 2Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama fungsi f(x)f(x) = cos2xf (x) = –2 sin2x (turunan y= cosaxadalah y= –asinax)❖Syarat stasioner f (x) = 0 –2 sin2x= 0(kalikan kedua ruas dengan −12)sin2x= 0f (b) = 0f (a) = 0f (c) = 0xyabcOGambar 1.Titik stasionerMisalkan ffungsi trigonometri yang yang mempunyai turunan.Jika f(a)= 0, maka f(x) stasioner di titik x= a, dengan➢Nilai f(a)disebut nilai stasioner f(x) di x= a.➢Titik (a, f(a)) disebut titik stasionerDefinisi1Contoh1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24sin2x= sin 0(sinx=sinmaka x=+ n.2dan x= (–)+ n.2)2x= 0 + n. 2x = n. n= 0x= 0n= 1x= n= 2x= 22x= + n. 2x = 𝜋2+ n. n= 0x= 𝜋2n= 1 x= 3𝜋2❖Menentukan nilai stasionerx= 0f(0) = cos 2(0) = cos 0 = 1x= 𝜋2f(𝜋2) = cos 2(𝜋2) = cos = –1 x= f() = cos 2() = cos 2= 1x= 3𝜋2f(3𝜋2) = cos 2(3𝜋2) = cos 3= –1 x=2f(2) = cos 2(2) = cos 4= 1❖Kesimpulan➢Nilai stasionernya adalah–1 dan 1.➢Titik stasionernya adalah (0, 1), (𝜋2, –1), (, 1), (3𝜋2, –1) dan (2, 1).Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok Perhatikan Gambar 2berikut, menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok menggunakan uji turunan pertama, diuraikan dalam sifat berikut.f (a) = 0yTitik maksimumMisalkan ffungsi trigonometri yang yang mempunyai turunan dan f(a)= 0➢Jika nilai fbertanda positif di x< adan bertanda negatif di x> a, maka (a,f(a))disebut titik maksimum lokal.➢Jika nilai fbertanda negatif di x< cdan bertanda positif di x> c, maka (c,f(c))disebut titik minimum lokal.➢Jika disekitar titik x= btidak ada perubahan tanda nilai f, maka (b,f(b))disebut titik belok horisontal.Sifat 1f (b) = 0f (c) = 0xabcOGambar 2.Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik BelokTitik minimumTitik belok+ + ++ + +–––+–––+Tanda dari nilai f
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25Untuk lebih memahami lagi Ananda dalam menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok menggunakan uji turunan pertama, pelajari contoh berikut.Menggunakan uji turunan pertama, carilah titikmaksimum dan minimum fungsitrigonometri𝑦=cos2𝑥pada interval 0 ≤ x≤ 2.Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama fungsi f(x)f(x) = cos2xf (x) = –2 sin2x (turunan y= cosaxadalah y= –asinax)❖Syarat stasioner f (x) = 0 –2 sin2x= 0(kalikan kedua ruas dengan −12)sin2x= 0sin2x= sin 0(sinx=sinmaka x=+ n.2dan x= (–)+ n.2)2x= 0 + n. 2x = n. n= 0x= 0n= 1x= n= 2x= 22x= + n. 2x = 𝜋2+ n. n= 0x= 𝜋2n= 1 x= 3𝜋2❖Menentukan nilai stasionerx= 0f(0) = cos 2(0) = cos 0 = 1x= 𝜋2f(𝜋2) = cos 2(𝜋2) = cos = –1 x= f() = cos 2() = cos 2= 1x= 3𝜋2f(3𝜋2) = cos 2(3𝜋2) = cos 3= –1 x=2f(2) = cos 2(2) = cos 4= 1➢Nilai stasionernya adalah–1 dan 1.➢Titik stasionernya adalah (0, 1), (𝜋2, –1), (, 1), (3𝜋2, –1) dan (2, 1).❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖Kesimpulan➢Titik (0, 1), (, 1), dan (2, 1)merupakan titik balik maksimum, karena fberubah tanda dari + (positif) ke –(negatif)➢titik (𝜋2, –1) dan (3𝜋2, –1) merupakan titikbalik minimum, karena fberubah tanda dari –(negatif) ke + (positif).𝜋2−++0f(x)Gambar 3Uji nilai f(x)23𝜋2−Contoh2f(3𝜋4) = 2f(𝜋4) = –2f(5𝜋4) =–2f(7𝜋4)= 2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26Menggunakan uji turunan pertama, carilah titikmaksimum dan minimum fungsitrigonometri𝑦=sin𝑥(1+cos𝑥)pada interval 0o< x< 90o.Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama fungsi f(x)f(x) = sin𝑥(1+cos𝑥)f (x) = cos x(1 + cos x) + sinx(–sin x)(turunan y= u. vadalah y= uv+ uv)f (x) = cos x+ cos2x–sin2xf (x) = cos x+ cos2x–( 1 –cos2x)(sin2x+ cos2x= 1)f (x) = 2cos2x+ cos x–1❖Syarat stasioner f (x) = 0 2cos2x+ cos x–1= 0(2cos x–1)(cos x+ 1)= 0(faktorkan)cosx=12atau cos x= –1 x= 60ox= 180o(tidak memenuhi karena 0o< x< 90o)❖Menentukan nilai stasionerx= 60of(60o) = sin 60o(1 + cos 60o) = 12√3(1+12)=12√3(32)=34√3➢Nilai stasionernya adalah 34√3.➢Titik stasionernya adalah (60o,34√3).❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖KesimpulanTitik (60o,34√3)merupakan titik balik maksimum, karena fberubah tanda dari + (positif) ke –(negatif)Menggunakan uji turunan pertama, carilah titikbelokfungsitrigonometri𝑦=𝑥+sin𝑥pada interval 0 < x< 2.Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama fungsi f(x)f(x) = x+ sin xf (x) = 1 + cos x❖Syarat stasioner f (x) = 0 1 + cos x= 0cos x= –1 x= 60o+0o90of(x)Gambar 4Uji nilai f(x)−Contoh3f(𝜋6) = 12+12√3f(5𝜋12) = 14(√6−2√3−√2)Contoh4
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27❖Menentukan nilai stasionerx= f() = + sin = ➢Nilai stasionernya adalah .➢Titik stasionernya adalah (,).❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖KesimpulanTitik (,)merupakan titik belok, karena fdisekitar titik x= tidak ada perubahantanda(positif (+) ke positif (+)).Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Titik Maksimum, Titik Minimum, Kecekungan, dan Titik Belok Sebelum menentukan titik maksimum, titik minimum, kecekungan, dan titik belok menggunakan uji turunan kedua, Ananda harus memahami terlebih dahulu definisi turunan kedua.Tentukan turunan kedua fungsi trigonometri berikut.a.y= sin (2x+ )b.y= cos2xPenyelesaian :a.y= sin (2x+ )y= 2 cos (2x+ )(turunan y= sinuadalah y= ucosu)y= –4sin (2x+ )(turunan y= cosuadalah y= –usinu)b.y= cos2xy= –2 cos xsin x(turunan y= u2adalah y=2u.u)y= –sin 2x(sin 2x= 2 sin xcos x)y = –2 cos 2x(turunan y= sinuadalah y= ucosu)Gambar 6memperlihatkan grafik dua fungsi yang naik pada (a, b). Kedua grafik menghubungkan titik Ake titik Btetapi kelihatan berbeda karena melengkung dalam arah berlainan. Bagaimana Ananda dapat membedakan antara dua tipe kelakuan ini? Dalam Gambar 7garis singgung pada kurva ini telah digambarkan pada beberapa titik. Dalam (a) kurva terletak di atas garis singgung dan fdisebut cekung ke atas +02f(x)Gambar 5Uji nilai f(x)+f(𝜋3) = 32f(4𝜋3) = 12Jika f(x) (turunan pertama suatu fungsi) diturunkan lagi terhadap x, maka akan diperoleh turunan kedua fungsi f(x) terhadap x, ditulis dengan f(x) atau yatau .Definisi2Contoh5
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28pada (a, b). Dalam (b) kurva terletak di bawah garis singgung dan gdisebut cekung ke bawah pada (a, b).Kriteria sederhana untuk memutuskan di mana kurva cekung ke atas dan di mana kurva cekung ke bawah dengan cukup Ananda mengingat dalam hati bahwa turunan kedua dari f adalah turunan pertama dari f. Jadi, fnaik jika fpositif dan fturun jikafnegative, sabagaimana teoremaberikut.➢Jika grafik fterletak di atas semua garis singgungnya pada suatu selang I(fnaik) maka grafik disebut cekung ke atas➢Jika grafik fterletak di bawah semua garis singgungnya pada suatu selang I(fturun) maka grafik disebut cekung ke bawahDefinisi 3abABABfgabGambar 6 Kecekungan Fungsi abABABfgabGambar 7 Kecekungan Fungsi (b)cekung ke atas(a)cekung ke bawahAndaikan fterturunkan dua kali pada selang terbuka (a, b)➢Jika f(x) > 0 untuk semua xdalam (a, b), maka fcekung ke atas pada (a, b)➢Jika f(x) < 0 untuk semua xdalam (a, b), maka fcekung ke bawah pada (a, b)Teorema 1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29Jika kurva pada suatu titik Pberubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas maka titik Pdisebut titik belok. Secara umum, titik belok adalah titik tempat kurva berubahnya arah kecekungan. Agar Ananda lebih memahami lagi dalam menentukan kecekungan dan titik belok fungsi trigonometri menggunakan uji turunan kedua, pelajari contoh berikut.Tentukan interval di mana fungsi cekung ke atas dan cekung ke bawah dan carilah titik belok fungsitrigonometri 𝑦=𝑥+cos𝑥pada interval 0 < x< 2.Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama dan turunan kedua fungsi f(x)f(x) = x+ cos xf (x) = 1 –sin xf (x) = –cos x❖Syarat titik belok f (x) = 0 –cos x = 0cos x= 0 x= 𝜋2dan x= 3𝜋2❖Hitung nilai f(x)x= 𝜋2f(𝜋2) = 𝜋2+ cos 𝜋2= 𝜋2x= 3𝜋2f(3𝜋2) = 3𝜋2+ cos 3𝜋2= 3𝜋2❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖Kesimpulan➢Fungsi f(x) cekung ke atas pada interval 𝜋2<𝑥<3𝜋2karena f(x)> 0➢Fungsi f(x) cekung ke bawah pada interval 0<𝑥<𝜋2atau 3𝜋2<𝑥<2karenaf(x)< 0➢Titik (𝜋2,𝜋2)dan (3𝜋2,3𝜋2)merupakan titik belok, karena di titik x= 𝜋2dan x= 3𝜋2terjadi perubahan kecekungan.Misalkan fkontinu di c. Titik (c, f(c)) dinamakan titik belok dari grafik fjika fcekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi yang lainnya dari I. Untuk menentukan titik belok suatu grafik fungsi maka di cari nilai cjika f (c)= 0.Definisi 4𝜋2–02f(x)Gambar 8Uji nilai f(x)–Contoh6f(𝜋3) = −12f(5𝜋3) = −123𝜋2+f(𝜋) = 1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30Penerapan lain dari turunan kedua adalah pengujian untuk nilai maksimum dan minimum yang merupakan akibat dari Uji kecekungan.Agar Ananda lebih memahami lagi dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi trigonometri menggunakan uji turunan kedua, pelajari contoh berikut.Menggunakan uji turunan kedua, carilah titikmaksimum dan minimum fungsitrigonometri𝑓(𝑥)=𝑥+sin2𝑥pada interval 0o< x< 180o.Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)f(x) = x+ sin 2xf (x) = 1 + 2cos 2x(turunan y= sinaxadalah y= acos ax)f (x) =–4 sin 2x(turunan y= cosaxadalah y= –asin ax)❖Syarat stasioner f (x) = 0 1 + 2cos 2x= 0cos 2x= −12cos 2x= cos 120o(cosx=cosmaka x=+ n.2dan x=–+ n.2)2x= 120o+ n.360oatau 2x= –120o+ n.360ox= 60o+ n.180oatau x= –60o+ n.180on= 0x= 60oatau n= 1x= 120o❖Menentukan nilai stasionerx= 60of(60o) = 60o+ sin 120o= 𝜋3+12√3x= 60of(120o) = 120o+ sin 240o= 2𝜋3−12√3❖Uji turunan keduaf (x) =–4 sin 2xf (60o) =–4 sin 120o= (–4)12√3= −2√3< 0 f (120o) =–4 sin 240o= (–4)(−12√3)= 2√3> 0❖KesimpulanTitik (60o,𝜋3+12√3)merupakan titik balik maksimum, karena f< 0.Titik (120o,2𝜋3−12√3)merupakan titik balik minimum, karena f> 0.Andaikan f dan f ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan andaikan f (c) = 0.➢Jika f (c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.➢Jika f (c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.Teorema 2Contoh7
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31Bagaimana menyelesaikan masalah fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari? Untuk memahaminya, pelajari Contoh 7 berikut.Sebuah rumah panggung dihubungkan dengan sebuah tangga menuju halamannya. Tangga tersebut ditopang oleh kayu dengan tinggi 2 m dan berjarak 2 m dari rumah. Jika permukaan tanah disekitar rumah dianggap datar dan tinggi tiang penyangga rumah tegak lurus pada permukaan tanah, tentukan panjang minimum dari tangga rumah tersebut.Penyelesaian :❖Buat pemodelan dari permasalahanSehingga panjang tangga dapat dimodelkan dalam bentuk fungsi berikut𝑓(𝜃)=𝑢+𝑣=2sin𝜃+2cos𝜃=2csc𝜃+2sec𝜃Tujuan kita adalah mencari nilai minimum dari fungsi tersebut.❖Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓(𝜃)𝑓(𝜃)=2csc𝜃+2sec𝜃f (𝜃) = –2 csc 𝜃cot 𝜃+ 2sec 𝜃tan 𝜃❖Syarat stasioner f (x) = 0 –2 csc 𝜃cot 𝜃+ 2 sec 𝜃tan 𝜃= 0sec 𝜃tan 𝜃= csc 𝜃cot 𝜃1cos𝜃sin𝜃cos𝜃=1sin𝜃cos𝜃sin𝜃sin3𝜃cos3𝜃=1tan3𝜃= 1tan 𝜃= 1𝜃=𝜋4, karena 0 < <𝜋2❖Menentukan nilai stasioner𝜃=𝜋4f(𝜋4) = 2 csc 𝜋4+ 2 sec𝜋4= 2√2+ 2√2= 4√2❖KesimpulanJadi, panjang tangga minimum dari rumah ke tanah adalah 4√2m.Contoh7uv2 m2 mGambar 9. Panjang tangga rumahMisalkan , dengan 0 < <𝜋2adalah sudut antara tangga dan permukaantanah dan panjang tangganya adalah u+ v, makasin𝜃=2𝑢𝑢=2sin𝜃dancos𝜃=2𝑣𝑣=2cos𝜃
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32C.Rangkuman❖Misalkan ffungsi trigonometri yang yang mempunyai turunan. Jika f(a)= 0, maka f(x) stasioner di titik x= a, dengan➢Nilai f(a)disebut nilai stasioner f(x) di x= a.➢Titik (a, f(a)) disebut titik stasioner❖Misalkan ffungsi trigonometri yang yang mempunyai turunan dan f(a)= 0➢Jika nilai fbertanda positif di x< adan bertanda negatif di x> a, maka (a,f(a))disebut titik maksimum lokal.➢Jika nilai fbertanda negatif di x< cdan bertanda positif di x> c, maka (c,f(c))disebut titik minimum lokal.➢Jika disekitar titik x= btidak ada perubahan tanda nilai f, maka (b,f(b))disebut titik belok horisontal.❖Jika f(x) (turunan pertama suatu fungsi) diturunkan lagi terhadap x, maka akan diperoleh turunan kedua fungsi f(x) terhadap x, ditulis dengan f(x) atau yatau 2222ataudxyddxfd.❖Jika grafik fterletak di atas semua garis singgungnya pada suatu selang I(fnaik) maka grafik disebut cekung ke atas.❖Jika grafik fterletak di bawah semua garis singgungnya pada suatu selang I(fturun) maka grafik disebut cekung ke bawah.❖Andaikan fterturunkan dua kali pada selang terbuka (a, b)➢Jika f(x) >0 untuk semua xdalam (a, b), maka fcekung ke atas pada (a, b)➢Jika f(x) < 0 untuk semua xdalam (a, b), maka fcekung ke bawah pada (a, b)❖Misalkan fkontinu di c. Titik (c, f(c)) dinamakan titik belok dari grafik fjika fcekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi yang lainnya dari I. Menentukan titik belok suatu grafik fungsi maka di cari nilai cjika f (c)= 0.❖Andaikan f dan f ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan andaikan f (c) = 0.➢Jika f (c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.➢Jika f (c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.D.Latihan SoalPilihlah satu jawaban yang paling tepat.1.Pada interval 0o≤ x≤ 180o, nilai stasioner dari fungsi f(x) = sin2xdiperoleh pada.... A.x= 45odan x= 135oB.x= 0o, x= 90o, dan x= 180oC.x= 0odan x= 145oD.x= 65odan x= 135oE.x= 45odan x= 165o2.Agar f(x) = sin (2x +b) mempunyai nilai stasioner pada x= 36o, maka nilai bharus sama dengan ....A.–18oB.–14oC.10o
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33D.14oE.18o3.Salah satu nilai stasioner dari fungsi f(x) = 2 + cos2 xadalah ....A.0B.1C.3D.4E.54.Titik stasioner dari fungsi f(x) = tan2 xadalah untuk nilai x= ....A.{0o, 45o}B.{180o, 360o}C.{45o, 360o}D.{90o, 180o}E.{45o, 90o5.Pada interval 0o≤ x≤ 180o, nilai maksimum dari fungsi f(x) = sin x+ cos xadalah... A.1B.12C.12√2D.√2E.√36.Nilai minimum dari fungsi f(x) = sin2x+ sin xadalah ....A.−14B.0C.12D.34E.27.Jika diketahui y= cos2 x, maka 22dxyd+ 4y= ....A.–2 B.–1C.0D.1E.28.Fungsi f(x) = sin2 x, 0 ≤ x≤ 2, cekung ke bawah pada interval ....A.𝜋4< x< 3𝜋4B.𝜋4< x< 7𝜋4dan 0 < x< 3 C.0 < x <𝜋4dan 7𝜋4< x < 2D.0 < x <𝜋4, 3𝜋4< x<5𝜋4dan 7𝜋4< x < 2E.𝜋4< x< 3𝜋4dan 5𝜋4< x< 7𝜋4
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN349.Titik belok fungsi y= sin x+ cos xpada interval [0, ] adalah ....A.(𝜋4, 0)B.(𝜋3, 0)C.(𝜋2, 0)D.(3𝜋4, 0)E.(, 0)10.Sebuah pancuran atap (talang) logam dengan permukaan berbentuk prisma memiliki sisi 30 cm dan alas mendatar 30 cm, sisi-sisi talang tersebut tersebut membentuk sudut yang sama besar, yaitu . Besar sudut agar kapasitas pancuran maksimum adalah....A.𝜋12B.𝜋6C.𝜋5D.𝜋4E.𝜋3Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 21.Pada interval 0o≤ x≤ 180o, nilai stasioner dari fungsi f(x) = sin 2xdiperoleh pada....Jawaban: APenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x) = sin 2xf (x) = 2 cos 2x (turunan y= sin axadalah y= acos ax)❖Syarat stasioner f (x) = 0 2 cos 2x= 0(kalikan kedua ruas dengan 12)cos 2x= 0cos 2x= cos 90o(cos x= cos maka x=+ n.2dan x=–+ n.2)2x= 90o+ n. 360ox= 45o+ n. 180on = 0 x= 45o2x= –90o+ n. 360ox= –45o+ n. 180on = 1 x= 135o❖Kesimpulan Jadi, pada interval 0o≤ x≤ 180o, nilai stasioner dari fungsi f(x) = sin 2xdiperoleh pada x= 45odan x= 135o.2.Agar f(x) = sin (2x +b) mempunyai nilai stasioner pada x= 36o, maka nilai bharus sama dengan ....Jawaban: EPQRSxt30 cm30 cm
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35Penyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x) = sin (2x +b)f (x) = 2 cos (2x +b)(turunan y= sin (ax+b)adalah y= acos (ax+b))❖Syarat stasioner f (x) = 0 2 cos (2x +b)= 0(kalikan kedua ruas dengan 12)cos (2x +b)= 0cos (2x +b)= cos 90o(cos x= cos maka x=+ n.2dan x=–+ n.2)2x +b= 90o+ n. 360ob= 90o–2x + n. 360ob= 90o–2(36o)+ n. 360ob = 18o + n. 360on = 0 b= 18o2x+ b= –90o+ n. 360ob= –90o–2x+ n. 360ob= –90o–2(36o) + n. 360ob = –162o+ n. 360on = 1 x= 198o❖Kesimpulan Jadi, agar f(x) = sin (2x +b) mempunyai nilai stasioner pada x= 36o, maka nilai bharus sama dengan 18o.3.Salah satu nilai stasioner dari fungsi f(x) = 2 + cos2 xadalah ....Jawaban: CPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x) = 2 + cos2 xf (x) = –2 cos x sin x=–sin 2x(turunan y= u2 adalah y= 2 u. u) ❖Syarat stasioner f (x) = 0 –sin 2x= 0(kalikan kedua ruas dengan (–1)sin 2x = 0sin 2x = sin 0o(sin x= sin maka x=+ n.2dan x=(180o–)+ n.2))2x= 0o+ n. 360ox= n. 180on = 0 x= 0on = 1 x= 180on = 2 x= 360o2x= 180o+ n. 360ox= 90o+ n. 180on = 0 x= 90on = 1 x= 270o❖Nilai stasionerx= 0o f(0o) = 2 + cos2 (0o) = 3x= 90o f(90o) = 2 + cos2 (90o) = 2x= 180o f(180o) = 2 + cos2 (180o) = 3x= 270o f(270o) = 2 + cos2 (270o) = 2x= 360o f(360o) = 2 + cos2 (360o) = 3Jadi, nilai stasionernya adalah 2 dan 3.4.Titik stasioner dari fungsi f(x) = tan2 xadalah untuk nilai x= ....Jawaban: BPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)f(x) = tan2x(turunan y= u2adalah y= 2u. u)f (x) = 2 tan x sec2x (turunan y= tan xadalah y= sec2x)❖Syarat stasioner f (x) = 0 2 tan x sec2x= 0(kalikan kedua ruas dengan 12)
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36tan x sec2x= 0tan x= 0atau sec2 x= 0(tidak ada nilai xyang memenuhi)x= 0o, 180o, 360o❖Kesimpulan Jadi, titik stasioner dari fungsi f(x) = tan2 xadalah untuk nilai x= 0o, 180o, dan 360o5.Pada interval 0o≤ x≤ 180o, nilai maksimum dari fungsi f(x) = sin x+ cos xadalah...Jawaban: DPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)f(x) = sin x+ cos xf (x) = cos x–sin xf (x) = –sin x–cos x❖Syarat stasioner f (x) = 0 cos x–sin x= 0cos x= sin xtanx = 1 x= 45o, 225o❖Menentukan nilai stasionerx= 45of(45o) = sin 45o+ cos45o= 12√2+12√2=√2x= 225of(225o) = sin 225o + cos225o= −12√2−12√2=−√2❖Uji turunan keduaf (x) = –sin x –cos xx= 45of (45o) = –sin 45o–cos 45o= −12√2−12√2=−√2< 0 x= 225of (225o) = –sin 225o–cos 225o= 12√2+12√2=√2> 0❖KesimpulanNilai f(45o)=√2merupakan nilaimaksimum, karena f< 0.Titik f(225o)=−√2merupakan nilaiminimum, karena f> 0.6.Nilai minimum dari fungsi f(x) = sin2x+ sin xadalah ....Jawaban: APenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)f(x) = sin2x+ sin xf (x) = 2 sin xcos x+ cos x = sin 2x+ cos x(turunan y= u2adalah y= 2u. u)f (x) = 2cos2x –sinx(turunan y= sinaxadalah y= acos ax)❖Syarat stasioner f (x) = 0 2 sin xcos x+ cos x= 0cos x(2sin x+ 1) = 0cosx = 0 atau sin x= −12x= 90o, 270ox= 210o, 330o❖Menentukan nilai stasionerx= 90of(90o) = sin290o+ sin 90o= 1 + 1 = 2x= 210of(210o) = sin2210o+ sin 210o= (−12)2−12=−14x= 270of(270o) = sin2270o+ sin 270o= 1 –1 = 0
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN37x= 330of(330o) = sin2330o+ sin 330o= (−12)2−12=−14❖Uji turunan keduaf (x) = 2 cos 2x –sin xx= 90of (90o) = 2 cos 2(90o)–sin (90o)= −2−1=−3< 0 x= 210of (210o) = 2 cos 2(210o)–sin (210o) = 2(12)−(−1)=2>0 x= 270of (270o) = 2 cos 2(270o)–sin (270o) = 2(−1)−(−1)=−1< 0 x= 330of (330o) = 2 cos 2(330o)–sin (330o) = 2(12)−(−12)=32>0 ❖KesimpulanNilai f(210o)=𝑓(330o)=−14merupakan nilai minimum, karena f>0.7.Jika diketahui y= cos2 x, maka 22dxyd+ 4y= ....Jawaban: EPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi yy= cos2 x𝑑𝑦𝑑𝑥=−2cos𝑥sin𝑥=−sin2𝑥(turunan y= u2adalah y= 2u. u)𝑑2𝑦𝑑𝑥2=−2cos2𝑥(turunan y= sinaxadalah y= acos ax)𝑑2𝑦𝑑𝑥2+4𝑦=−2cos2𝑥+4cos2𝑥=−2(2cos2𝑥−1)+4cos2𝑥(cos 2x= 2 cos2x–1)=−4cos2𝑥+2+4cos2𝑥=28.Fungsi f(x) = sin2 x, 0 ≤ x≤ 2, cekung ke bawah pada interval ....Jawaban: EPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dan turunan kedua fungsi f(x)f(x) = sin2 xf (x) = 2 sin x cos x= sin2xf (x) = 2cos2x❖Syarat titik belok f (x) = 0 2cos2x = 0cos2x= 0❖cos 2x= cos 𝜋2(cos x= cos maka x=+ n.2dan x=–+ n.2)2x= 𝜋2+ n. 2x= 𝜋4+ n. n = 0 x= 𝜋4n = 1 x= 5𝜋42x= −𝜋2+ n. 2x= −𝜋4+ n. n = 1 x= 3𝜋4n = 2 x= 7𝜋4❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖Kesimpulan𝜋4+02f(x)–f(𝜋6) = 1f(3𝜋2) = −23𝜋4–f(𝜋2) =–25𝜋47𝜋4f(𝜋) = 2f(11𝜋6) = 1++
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN38➢Fungsi f(x) cekung ke atas pada interval 0<𝑥<𝜋4atau 3𝜋4<𝑥<5𝜋4atau 7𝜋4<𝑥<2𝜋karena f(x) > 0➢Fungsi f(x) cekung ke bawah pada interval 𝜋4<𝑥<3𝜋4atau 5𝜋4<𝑥<7𝜋4karena f(x) < 09.Titik belok fungsi y= sin x+ cos xpada interval [0, ] adalah ....Jawaban: DPenyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dan turunan kedua fungsi f(x)f(x) = sin x+ cos xf (x) = cos x–sin xf (x) = –sinx–cosx❖Syarat titik belok f (x) = 0 –sinx–cosx= 0–sinx=cosxsin𝑥cos𝑥=−1tan x= –1 x= 3𝜋4,7𝜋4❖Nilai fungsix= 3𝜋4f(3𝜋4) = sin3𝜋4+ cos3𝜋4= 0x= 7𝜋4f(7𝜋4) = sin7𝜋4+ cos7𝜋4= 0❖Uji nilai fungsi f(x) pada garis bilangan dan beri tanda❖Kesimpulan➢Fungsi f(x) cekung ke atas pada interval 3𝜋4<𝑥<7𝜋4karena f(x) > 0➢Fungsi f(x) cekung ke bawah pada interval 0<𝑥<3𝜋4atau 7𝜋4<𝑥<2𝜋karena f(x) < 0➢Titik (3𝜋4,0)dan (7𝜋4,0)merupakan titik belok, karena di titik x= 3𝜋4dan x= 7𝜋4terjadi perubahan kecekungan.10.Sebuah pancuran atap (talang) logam dengan permukaan berbentuk prisma memiliki sisi 30 cm dan alas mendatar 30 cm, sisi-sisi talang tersebut tersebut membentuk sudut yang sama besar, yaitu . Besar sudut agar kapasitas pancuran maksimum adalah....x–02f(x)f(𝜋2) =–1 3𝜋47𝜋4f(𝜋) = 1f(11𝜋6) = 12−12√3+–
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN39Jawaban: EPenyelesaian:❖Buat model matematika dari permasalahanVolume atau kapasitas pancuran maksimum, jika luaspenampang talang itu maksimum.Misalkan tinggi pancuran terhadap bidang alas adalah t, maka t= 30 sindan x= 30 cos dengan0 ≤ ≤ 𝜋2Luas permukaan talang dinyatakan sebagai fungsi dari , makaL() = luas trapezium PQRS= 12(𝑃𝑄+𝑅𝑆)×𝑡= 12(30+30+2𝑥)×𝑡= 12(60+2𝑥)×𝑡= 30t+ xt= 30 (30 sin) + (30 cos )(30 sin)= 900 sin+ 900 cos sin= 900 sin+ 450sin2❖Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓(𝜃)𝐿(𝜃)=900sin+450sin2L(𝜃) = 900 cos 𝜃+ 900 cos 2𝜃❖Syarat stasioner L(x) = 0 900 cos 𝜃+ 900 cos 2𝜃= 0cos 𝜃+ cos 2𝜃= 0cos 𝜃+ (2cos2𝜃–1) = 02cos2𝜃+ cos 𝜃–1 = 0(2 cos 𝜃–1)(cos 𝜃+ 1) = 0cos 𝜃= 12atau cos 𝜃=−1𝜃=𝜋3, =(tidak memenuhi)❖Menentukan nilai stasioner𝜃=𝜋3L(𝜋3) = 900 sin𝜋3+ 450sin2𝜋3= 900 (12√3) + 450(12√3) = 675√3❖KesimpulanJadi, agar kapasitas volume pancuran maksimum, maka besar suduta 𝜃=𝜋3.PQRSt30 cm30 cm
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN40E.Penilaian DiriAnandaisilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Ananda mampu menentukan nilai dan titik stasioner fungsi trigonometri?2.Apakah Ananda mampu menentukannilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri dengan uji turunan pertama?3.Apakah Ananda mampu menentukan turunan kedua fungsi trigonometri?4.Apakah Ananda mampu menentukannilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri dengan uji turunan kedua?5.Apakah Ananda mampu menentukan titik belokfungsi trigonometri?6.Apakah Ananda mampu menentukan kecekunganfungsi trigonometri?Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN41EVALUASI1.Gradien garis singgung kurva y= sin (x + 20o) pada x= 10oadalah ....A.12B.12√2C.12√3D.−12√2E.−12√32.Garis gmenyinggung kurva y= sin x+ cos xdi titik yang berabsis 31. Gradien garis yang tegak lurus pada garis gadalah ....A.1 –√3B.1 + √3C.1D.12(√3–1)E.12(1 –√3)3.Diketahui garis gmenyinggung kurva 𝑓(𝑥)=2+cos𝑥sin𝑥di titik (𝜋2,2). Garis gmemotong sumbu Ydititik ....A.(0, 2 –𝜋2)B.(0, 1)C.(0, 𝜋2)D.(0, 𝜋)E.(0, 2 + 𝜋2)4.Pada interval 20o< x< 60o, gradien garis singgung kurva y= sin2(2x) adalah √3. Dengan demikian maka absis titik singgungnya adalah ....A.25oB.30oC.35oD.40oE.45o5.Garis singgung kurva y= 12cos(2𝑥+20o)sejajar dengan garis 2y+ x+ 4 = 0. Salah satu absis titik singgung kurva adalah ....A.35oB.55oC.65oD.75oE.85o6.Persamaan garis singgung kurva y= 2cos x+ sin xdi titik x= 0oadalah ....A.x+ y+ 2 = 0B.x+ y–2 = 0
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN42C.x–y+ 2 = 0D.x–y–2 = 0E.x–y+ 4 = 07.Persamaan garis singgung kurva y= 2sin x+ sin 2xdi titik x= 60oadalah ....A.2y–3√3= 0B.2y+ 3√3= 0C.y–3√3= 0D.y+ 3√3= 0E.x+ y–3√3= 08.Grafik fungsi f(x) = cos2 xakan turunpada interval ...A.0 < x< B.0 < x< 𝜋2C.𝜋2< x< D.< x< 3𝜋2E.< x< 29.Pada interval 𝜋2<𝑥<3𝜋2maka grafik fungsi f(x) = cos 2xakan ....A.selalu naikB.selalu turunC.naik kemudian turunD.turun kemudian naikE.naik kemudian turun kemudian naik10.f(x) = sin x+ cos xsin x + cos 2xsin x+ ... untuk 0 < x< A.merupakan fungsi naikB.merupakan fungsi turunC.mempunyai maksimum sajaD.mempunyai minimum sajaE.mempunyai maksimum dan minimum11.Nilai stasioner dari fungsi f(x) = 2 sinxadalah ....A.–2 dan 2B.–1 dan 1C.0D.0 dan 1E.0 dan 212.Nilai maksimum fungsi f(x) = cos2 (2x) dapat dicapai pada xsama dengan ....A.30oB.45oC.60oD.75oE.90o13.Pada interval 0o≤ x≤ 180o, nilai minimum dari fungsi f(x) = cos (2x+ 10o) diperoleh pada x= ....A.45oB.55oC.65o
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN43D.75oE.85o14.Pada interval 𝜋3< x< , nilai maksimum dari fungsi f(x) = 12√2cos2x+ sin xdapat dicapai pada x= ....A.12B.35C.34D.23E.4515.Titik minimum dari fungsi 𝑦=1+sin𝑥sin𝑥pada interval 0o≤ x≤ 360o adalah ....A.(90o, 2)B.(270o, 0)C.(45o, 1+√2)D.(150o, 1)E.(30o, 3)16.Pada interval 0o< x< 180otitik maksimum dari fungsi 𝑦=sin𝑥+√3cos𝑥adalah ....A.(30o,2)B.(45o,√6+√22)C.(60o,√3)D.(150o,−1)E.(120o,0)17.Nilai minimum dari fungsi f(x) =𝑥+2cos𝑥padainterval 0 < x< adalah ....A.5𝜋6−√3B.5𝜋6−√32C.𝜋6+√3D.5𝜋6+√3E.𝜋6−√318.Titik maksimum dari fungsi 𝑦=13cos3x+ sin2xpada interval 0o< x< 180o adalah ....A.(0o,13)B.(45o,6+√212)C.(90o,1)D.(120o,1724)E.(150o,2−√38)
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4419.Diketahui y= xsin x, maka y + y= ....A.sin xcos xB.2 cos xC.cos xD.cos x–sin xE.2 cos x–120.Turunan kedua dari f(x)= sin2 2xadalah ....A.6 sin 2xB.12 cos 4xC.8cos 4xD.8 sin 4xE.3 sin 2xcos 2x21.Interval fungsi trigonometri f(x) = x–3 cos xcekung ke bawah adalah ....A.0 < x< 𝜋2B.0 < x< C.𝜋2< x< D.𝜋2< x< 3𝜋2E.3𝜋2< x< 222.Interval fungsi trigonometri f(x) = cos2xcekung ke atas adalah ....A.0 < x< 𝜋4B.0 < x< 𝜋2C.𝜋4< x< 3𝜋4D.𝜋2< x< 3𝜋2E.3𝜋2< x< 223.Titik belok fungsi trigonometri y= 2 –cos xadalah ....A.(0, 1)B.(𝜋2,2)C.(𝜋,3)D.(𝜋3,32)E.(2𝜋,1)24.Sebuah ayunan bergetar dengan periode 1,5 sekon dan amplitudo ayunan sebesar 100 cm. Ayunan mencapai percepatan maksimum pada detik ke ....A.38B.12C.34D.1E.2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4525.Dua orang pekerja bangunan hendak menarik tumpukan bahan bangunan di sepanjang bidang lurus. Apabila gaya yang diperlukan untuk menarik bahan bangunan seberat Wdinyatakan dalam 𝐹(𝜃)=𝜇𝑊𝜇sin𝜃+cos𝜃dengan adalah sudut antara tali dengan bidang datar dan adalah koefisien gesekan. Apabila koefisien gaya gesek 𝜇=13√3, gaya minimum yang diperlukan oleh pekerja tersebut adalah....A.12√2B.13√3C.12√3D.23√3E.√3
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN46KUNCI JAWABAN EVALUASI1.C2.B3.E4.B5.C6.C7.A8.C9.C10.B11.A12.E13.E14.C15.B16.A17.C18.C19.B20.C21.D22.C23.B24.A25.B
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.4@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN47DAFTAR PUSTAKABudhi, Wono Setya. 2010. Matematika 4. Jakarta: Zamrud Kemala.Chakrabarti, J, et al. 2014. Matematika untuk SMA Kelas XI Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bogor: Quadra.Priatna, Nanangdan Titi Sukamto. 2016. Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Grafindo Media Pratama.Purcell,E.J.,dan Dale Varberg.1990. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.Simangunsong, W., dan Frederik M. Poyk. 2016. Matematika Peminatan Kelas XII SMA/MA. Jakarta: Gematama.SuparmindanAditya Nur Rochma. 2016. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmuAlamuntuk SMA/MA Kelas XII. Surakarta: Mediatama.Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.